[Cas Pratique] Déterminer Le signe d’un Polynôme du Second Degré

Par Fatima | Méthodes et Astuces

Ce cas pratique reprend l’exercice 2 de la vidéo 4 sur la Dérivation (pour ceux qui ont suivi la série de Cours Offerts). Aussi, c’est un bon rappel du programme de seconde…

Pour rappeler comment trouver le signe d’un polynôme du second degré, nous allons donc utiliser cet énoncé plus bas. Car en effet, il y avait une autre façon de trouver plus rapidement le signe de la dérivée, en utilisant le cours sur les polynômes du 2nd degré.

Vous en avez peut-être entendu parler en classe, et les meilleurs répondaient toujours juste! Du coup le prof passe à autre chose… Je me rappelle qu’en classe ça m’arrivait. Ce n’est pas forcément compliqué à comprendre… mais comme ça va vite, tu sais pas trop de quoi ils parlent!

J’entendais des bouts d’explications comme « pour déterminer le signe d’un polynôme du second degré, regardez le coefficient a », et tout de suite après ils passaient à la conclusion…

Et moi j’étais là, mais qu’est-ce qu’ils racontent lol ! En fait, voilà de quoi ils parlent, je te traduis en exclusivité 😉 :

Signe d’un polynôme du second degré: identifier d’abord le type de racine

La première étape pour donner le signe d’un polynôme du second degré, c’est de savoir si le discriminant Δ est

  • strictement positif
  • nul
  • ou strictement négatif.

Ce qui est respectivement équivalent à avoir

  • deux racines
  • une racine (dite double)
  • aucune racine

Je précise cela, car tu dois garder cette équivalence en tête, et savoir jongler de l’un vers l’autre. Car selon la situation où tu te trouve, tu vas raisonner soit en terme de racines, soit en terme de discriminant.

En général,

  • le discriminant Δ est évoqué en premier lorsqu’on se trouve en présence d’une forme développée du polynôme
  • le discours avec les racines est utilisé lorsque le polynôme se présente sous forme factorisée

En effet, le second degré signifie que la plus grande puissance que puisse prendre x est 2. Cela signifie qu’on aura obligatoirement un terme en x². Puis, ce n’est pas nécessaire cette fois-ci, peut-être un terme en x, et/ou un terme sans x.

Donc revenons aux formes factorisées:

  • si on a une forme du type (ax+b)(cx+d), alors on en déduit directement que le polynôme a deux racines. Et on peut même les donner, c’est  \( – {b \over a} \)  et \( – {d \over c} \)
  • si on a une forme du type (ax+b)², on en déduit directement que le polynôme a une racine double. Et on peut même la donner, c’est \( – {b \over a} \)
  • si c’est pas factorisable, alors on n’a pas de racines

Note: Pour que ce soient bien des polynômes du second degré, on aura forcément a ≠ 0 et c ≠ 0

Identifier le signe de a, pour conclure sur le signe de ton polynôme du 2nd degré

Une fois que tu as l’info sur le discriminant (ou par équivalence sur le type de racines): la conclusion sur le signe du polynôme de second degré sera donnée, selon le signe du coefficient de .

Oui j’aurais pu dire le signe de a pour faire court 🙂

Il faut juste se rappeler que le signe d’un polynôme du second degré  ax² + bx + c dépend du signe de a:

  • Si Δ ≤ 0, alors le polynôme sera du signe de a
  • Si Δ > 0, alors le polynôme sera du signe de a en dehors des racines (moi je le retiens en me disant que le signe de a est majoritaire). On a alors ces deux cas de figure:
    1. Si a est négatif, on aura alors comme tableau de signe tableau de signe, signe d'un polynôme de 2nd degré, signe d'un polynôme du second degré
    2. Si a est positif, on aura comme tableau de signe    tableau de signe, signe d'un polynôme de 2nd degré, signe d'un polynôme du second degré

Voici un exercice pour exemple

Nous avions la fonction  ƒ telle que ƒ'(x)=(x+2)(4x-5), et on nous demandait de donner les variations de cette fonction sur ℝ. Ici nous allons juste donner le signe de la dérivée…

C’est bien un polynôme du second degré. Comment je le sais? Je fais comme si je voulais développer, et je regarde quelle pourra être la plus grande puissance possible pour x. Entraîne-toi aussi à le voir d’un coup d’oeil!

Ici la forme est factorisée, ce qui nous permet de savoir qu’il y a deux racines. Donc il suffit de trouver a, et de regarder son signe.

Comment le trouver ? Pour cela, comme a est le coefficient du monôme de degré 2, je vais juste regarder combien vaut le coefficient de quand on développe ƒ : $$f′(x)=(x+2)(4x−5)=4x^2+8x-5x…$$

Je ne développe pas plus, car je n’aurais pas d’autre élément en  dans le développement. En effet, ça arrive uniquement quand on multiplie les x entre eux.

Le coefficient de est 4, donc a=4, est positif.

Et j’en déduis que ƒ est positive en dehors des racines, en suivant simplement le raisonnement qu’on a vu pour donner le signe d’un polynôme du second degré!

Ce qui se traduit par le tableau de signe suivant :

tableau de signe, signe d'un polynôme de 2nd degré, signe d'un polynôme du second degré

Ce qui me permet de donner encore plus rapidement le tableau de variation dans l’exercice que nous avions traité!

Alors dis-moi en commentaire, tout est clair maintenant?

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Va falloir remédier à ça tout de suite!! On me dit dans l'oreillette que la dérivation, c'est THE chapitre qu'on est sûr de retrouver dans tout examen de Maths... Je dis ça, je dis rien...

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